On démontre la propriété directement par un calcul ou par des déductions simples.
Exemple
Pour prouver que,pour tout entier n, n(8n+8)/2 +1 est un carré, on développe et simplifie et factorise, on obtient (2n+1)(2n+1) qui est bien un carré.
Disjonction de cas
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Raisonnement
Disjonction de cas
Description
On divise le problème en plusieurs cas recouvrant toutes les possibilités.
Exemple
On veut montrer que pour tout entier n, n(n+1)/2 est un entier, si n est pair n/2 est entier donc c'est vrai et, si n est impair, (n+1)/2 est entier donc on a bien prouvé la propriété dans tous les cas.
Contre-exemple
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Raisonnement
Contre-exemple
Description
Pour prouver qu'une propriété est fausse, il suffit de donner un exemple qui réfute cette propriété.
Exemple
Pour montrer que pour tout réel x on n'a pas "x est inférieur à son carré", on choisit x = 0,1. En effet 0,1 est plus grand que son carré 0,01.
Contraposée
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Raisonnement
Contraposée
Description
Pour prouver qu'une propriété A entraîne une propriété B, il revient au même de montrer que si B est fausse, alors A l'est aussi.
Exemple
On veut prouver que si le carré d'un entier n est impair, alors n est impair. Le contraire d'être impair étant être pair, on suppose donc que n est pair, il est donc égal à 2k (pour un entier k) alors son carré, 2.2.k.k, est pair.
Double inclusion
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Raisonnement
Double inclusion
Description
Pour prouver que deux ensembles sont égaux, on montre que chacun est contenu dans l'autre
Exemple
Si on veut montrer que tous les réels positifs sont des carrés de réels : on remarque qu'un carré est positif puis qu'un nombre positif est le carré de sa racine carrée, donc est un carré.
Par l'absurde
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Raisonnement
Par l'absurde
Description
Pour prouver qu'une propriété est vraie, on la suppose fausse et on aboutit à une contradiction, donc c'est qu'elle est vraie.
Exemple
Il y a une infinité de premiers : sinon, on a leur liste p(1),..., p(k). Leur produit augmenté de un p(1)....p(k) +1 est un entier n'ayant aucun diviseur premier c'est impossible, donc il existe une infinité de nombres premiers.
Récurrence
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Raisonnement
Récurrence
Description
Si une proposition P(n) est vraie pour n = 1 et que pour tout entier k, le fait que P(k) soit vraie entraîne que P(k+1) est vraie, alors P(n) est toujours vraie pour n supérieur à 1.
Exemple
On veut montrer P(n), la somme des n premiers entiers non nuls, est n(n+1)/2. Pour n = 1 : 1 = 1(2)/2 d'où P(1). On suppose P(k) vraie, alors 1+2+...+ k + k+1 = k(k+1)/2 + k+1 = (k+1)(k+2)/2 d'où P(k+1). Par récurrence, P(n) est donc vraie.